| 초록 |
□ 연구개요 최근 계발된 두 개의 세 가닥 꼬임 끈을 비교할 수 있는 알고리즘을 이용하여 본 연구과제에 도움을 줄 수 있는 이론의 확장을 주된 과제로 선정하였다. 특히 유리화 매듭의 불변량중 하나인 브리지 수를 연구하여 유리화 매듭의 학문적 분류에 도움이 되고자 하였다. 매듭이론 중 브리지 수는 위상수학자들에게 꾸준하게 연구되어진 불변량이지만 아직 그 불변량에 관해 알려진 사실은 많지 않다. 유리화 매듭은 매듭의 특별한 정형화이며 이는 유리화 n 가닥의 꼬임끈에서 단순 닫음으로 얻어지는데 특히 세 가닥 꼬임 끈을 이용한 브리지 수 연구가 브리지 수에 관한 더 많은 정보를 밝혀낼 수 있는 출발점이 되기 위해 노력하였다. □ 연구 목표대비 연구결과 첫째, 브리지 수로써 3을 갖는 알려지지 않은 큰 집단을 찾는 것이었다. 또한 사각조건(Rectangle condition)을 이용한 유리화 매듭의 브리지 수의 연구였다. 2년차 목표는 이들을 이용하여 유리화 매듭의 분류에 일반적으로 접근하는 것이었다. 1편의 SCI급 저널에 논문을 게재하여 100%성과를 기록하였다. 둘째, 주어진 유리화 세 가닥 꼬임 끈과 단순 세 가닥 꼬임 끈을 결합함으로써 유리화 매듭을 만들 수 있는데, 이때 그 분할에 이용되는 구면위에서 각각의 꼬임 끈의 사영을 이용하여 그 복잡도(complexity)를 측정할 방법론을 연구하였다. 1편의 논문을 SCI급 저널에 투고하였으며 현재 게재를 위하여 심사중이므로 90%이상의 성과를 획득하였다고 하겠다. 마지막으로, 3차원 다양체의 연구에서 아주 중요한 역할을 하는 히가드 분리(Heegaard split ting)에서 그 경계면(Heegaard surface)에서 히가드 분리의 복잡 도를 측정할 수 있는 방법 중 하나가 사각조건(Rectangle condition)을 이용하여 브리지수를 알 수 있는 큰 집합을 찾았다. 1편의 SCI급 저널에 논문을 게재하여 100%성과를 기록하였다. □ 연구개발결과의 중요성 우선 응용분야의 이론적 기초가 되는 연구임을 밝히고 싶다. 이미 유리화 두 가닥 꼬임 끈 연구는 DNA 재결합 등과 관련하여 생명공학분야의 연구에 널리 사용되어지고 있다. 이미 이 분야에 관련하여 많은 전문가들이 우수논문을 위상분야 및 응용분야 전문지에 발표하고 있다. 예를 들면 DNA의 모습들이 유리화 n 가닥 꼬임 끈 구조의 형태로 표현되어질 수 있는데, 현재는 이를 부분적으로 유리화 두 가닥 꼬임 끈 구조를 가질 수 있도록 절단하여 각각의 절단된 유리화 두 가닥 꼬임 끈들에 관한 특성의 이용하여 전체를 이해하고 있다. 하지만 전체 DNA의 특성의 이해와 부분적인 특성의 결합을 통한 전체의 이해에는 적지 않은 간격이 있다. 따라서 더 정확하고 개선된 관련분야 연구를 위하여 일반화된 유리화 n 가닥 꼬임 끈에 관한 연구결과가 중요할 것이다. (출처 : 연구결과 요약문 2p) |
